计算机图形学中的线性代数

一、基础概念

1. 向量基础

• 几何意义：方向与长度的数学抽象
• 基本运算：
  • 加减法：三角形法则（头尾相接）
  • 标量乘法：$\lambda\vec{v}$ 改变长度不改变方向
• 规范化：$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ 单位向量获取

2. 矩阵基础

• 图形学作用：几何变换的数学表达
• 特殊矩阵：
  • 单位矩阵（恒等变换）
  • 对角矩阵（轴向缩放）
  • 正交矩阵（旋转变换）

二、核心运算

1. 点积（Dot Product）

• 计算公式：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
• 图形学应用：
  • 光照强度计算（表面法线方向与光线方向）
  • 投影长度测量
  • 向量夹角判断

2. 叉积（Cross Product）

• 右手定则：$\vec{a} \times \vec{b}$ 方向判定
• 图形学应用：
  • 表面法向量计算
  • 多边形可见性判断
  • 坐标系构建（切线空间）

三、几何变换

1. 二维变换

变换类型	矩阵表示	示例
平移	$\begin{bmatrix}1&0&t_x\0&1&t_y\0&0&1\end{bmatrix}$	UI元素位置调整
旋转	$\begin{bmatrix}\cosθ&-\sinθ&0\\sinθ&\cosθ&0\0&0&1\end{bmatrix}$	角色朝向调整
缩放	$\begin{bmatrix}s_x&0&0\0&s_y&0\0&0&1\end{bmatrix}$	场景物体大小调整

2. 三维变换

• 齐次坐标：$(x,y,z,w)$ 统一表示点与向量
• 组合变换：模型矩阵 = 平移 × 旋转 × 缩放
• 法向量变换：需使用逆转置矩阵保持垂直性

四、图形学实战应用

1. 视图变换

// 构建LookAt矩阵示例
Matrix4x4 LookAt(Vec3 eye, Vec3 target, Vec3 up) {
    Vec3 z = (eye - target).normalized();
    Vec3 x = cross(up, z).normalized();
    Vec3 y = cross(z, x);
    return Matrix4x4(
        x.x, x.y, x.z, -dot(x,eye),
        y.x, y.y, y.z, -dot(y,eye),
        z.x, z.y, z.z, -dot(z,eye),
        0,   0,   0,    1
    );
}